Soit (a,b) deux entiers naturels premiers entre eux. dzns cet exercice on se propose de trouver un couple d'entiers relatifs (x,y) tel que: $ax+by=1$. On a: $a=q_1b+r_1$ Ecrivons sous forme matricielle: $$\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} q_1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b\\ r_1 \end{pmatrix}$$
- Montrer que: $$\begin{pmatrix} q_1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-q_1 \end{pmatrix}$$
- En prenant $(a,b)=(49,18),~$ effectuer les divisions euclidiennes successives.
- Montrer alors que l'on: $$\begin{pmatrix} 49\\ 18 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$
- Montrer alors que: $$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 49\\ 18 \end{pmatrix}$$
- En déduire que: $$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7&-19\\ -12&33 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 49\\ 18 \end{pmatrix}$$
- En déduire que $(u,v)=(7,19)$