Soit p un nombre entier positif.
  1. Montrer que: $\quad p\mid C_p^k\quad$ pour: $\quad k=1,2,\cdots,p-1$
  2. E déduire que pour tout couple $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ on a: $(a+b)^p=a^p+b^p\mod p$
  3. En déduire que: $(\forall n\in\mathbb{N}):\quad (n+1)^p-(n^p+1)=0\mod p $
  4. Montrer que:$\quad(\forall n\in\mathbb{N}):\quad n^p\equiv n\mod p\quad$ et que si on outre on a:$\quad n^p=1\quad $ alors: $\quad n^{p-1}=1\mod p$
  5. En déduire que: $(\forall a\in \mathbb{Z}):\quad a^p=a\mod p$ et que si en outre on a : $(a\land p=1):\quad$ alors:$\quad a^{p-1}\equiv 1 \mod p$ ( Petit théorème de Fermat)
  6. Applications:
    1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $\quad 33782^{240}\quad$ par $\quad 17$
    2. Soit p un nombre premier $p\geq 19$. Montrer que: $16320\mid (p^{16}-1)$
    3. Soient $p$ et $q$ deux nombres pemiers positifs distincts. Montrer que: $p^{q-1} + q^{p-1}\equiv 1\mod (pq)$
    4. Soit $a\in \mathbb{Z}$ Montrer que si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts ne divisant pas $a$ alors: $a^{(p-1)(q-1)}=1\mod (pq)$
    5. Soient $a,b,c,$ et $d$ des entier naturels non nuls.Montrer que: $$a^{4b+d}-a^{4c+d}\equiv 0\mod 30$$